在初中数学的学习过程中，比例与相似三角形是重要的知识点之一。而合分比定理作为其中的一个核心概念，对于解决相关问题具有重要意义。本文将通过几个典型的例题来帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。

什么是合分比定理？

合分比定理指的是如果两个量 \(a\) 和 \(b\) 的比值等于另一个量 \(c\) 和 \(d\) 的比值（即 \(\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\)），那么这两个比值的和与差之间的关系也成立。具体来说：

\[

\frac{a+b}{a-b} = \frac{c+d}{c-d}

\]

这条定理在处理复杂的比例问题时非常有用。

典型例题解析

例题1：已知 \(\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\)，求 \(\frac{x+y}{x-y}\) 的值。

解题思路：

根据题目条件 \(\frac{x}{y} = \frac{3}{4}\)，我们可以设 \(x=3k\)，\(y=4k\) （其中 \(k\) 是一个正数）。这样做的目的是为了方便代入计算。

接下来计算 \(\frac{x+y}{x-y}\)：

\[

\frac{x+y}{x-y} = \frac{3k+4k}{3k-4k} = \frac{7k}{-k} = -7

\]

因此，答案为 \(-7\)。

例题2：若 \(\frac{m}{n} = \frac{5}{6}\)，且 \(\frac{m+n}{m-n} = x\)，求 \(x\) 的值。

解题思路：

同样地，设 \(m=5k\)，\(n=6k\)。然后代入公式 \(\frac{m+n}{m-n}\) 进行计算：

\[

\frac{m+n}{m-n} = \frac{5k+6k}{5k-6k} = \frac{11k}{-k} = -11

\]

所以，\(x=-11\)。

例题3：已知 \(\frac{a}{b} = \frac{7}{8}\)，并且 \(\frac{a+b}{a-b} = y\)，求 \(y\) 的值。

解题思路：

这里直接应用合分比定理即可得出结果：

\[

\frac{a+b}{a-b} = \frac{7+8}{7-8} = \frac{15}{-1} = -15

\]

因此，\(y=-15\)。

总结

通过以上三个例子可以看出，合分比定理在解决比例问题时起到了简化计算的作用。掌握了这一定理后，在面对类似的问题时就能更加得心应手。希望本文能够帮助同学们更好地理解和运用合分比定理！