【三角函数值公式大全】在数学中，三角函数是研究三角形和周期性现象的重要工具。它们广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。为了方便学习和查阅，以下是对常见三角函数值及其相关公式的总结，内容以文字说明与表格形式呈现，力求准确、清晰。

一、基本定义

设角θ位于直角坐标系的终边上，其终边与单位圆交于点P(x, y)，则：

- sinθ = y

- cosθ = x

- tanθ = y/x

- cotθ = x/y

- secθ = 1/x

- cscθ = 1/y

其中，x ≠ 0 时 tanθ 和 secθ 有定义；y ≠ 0 时 cotθ 和 cscθ 有定义。

二、特殊角的三角函数值表

> 注：符号“—”表示该函数在该角度下无定义。

三、三角恒等式

1. 基本恒等式：

- $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $

- $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $

- $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $

2. 诱导公式（用于角度转换）：

- $ \sin(-\theta) = -\sin\theta $

- $ \cos(-\theta) = \cos\theta $

- $ \tan(-\theta) = -\tan\theta $

- $ \sin(\pi - \theta) = \sin\theta $

- $ \cos(\pi - \theta) = -\cos\theta $

- $ \tan(\pi - \theta) = -\tan\theta $

3. 和差公式：

- $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha \cos\beta \pm \cos\alpha \sin\beta $

- $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha \cos\beta \mp \sin\alpha \sin\beta $

- $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \tan\beta} $

4. 倍角公式：

- $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $

- $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $

- $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $

5. 半角公式：

- $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $

- $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $

- $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $

四、反三角函数简要介绍

反三角函数是三角函数的反函数，用于求已知三角函数值对应的角。常见的包括：

- arcsin(x)：定义域为 [-1, 1]，值域为 [-π/2, π/2

- arccos(x)：定义域为 [-1, 1]，值域为 [0, π

- arctan(x)：定义域为 R，值域为 (-π/2, π/2)

五、应用举例

在实际问题中，如计算斜坡高度、测量建筑物高度、分析交流电波形等，都离不开三角函数的应用。例如：

- 若一个斜坡的倾斜角为 30°，且斜面长度为 10 米，则其垂直高度为 $ 10 \times \sin(30^\circ) = 5 $ 米。

- 在交流电路中，电压和电流的相位差可以用正弦或余弦函数来表示。

六、结语

三角函数不仅是数学的基础内容之一，更是现代科技中不可或缺的工具。掌握其基本公式和常用角度的值，有助于提高解题效率和理解能力。希望本文能为您的学习提供帮助，如有进一步需求，可深入研究三角函数的图像、导数及积分等内容。