在数学领域，特别是线性代数中，正定矩阵和负定矩阵是两种特殊类型的对称矩阵。它们在优化问题、二次型理论以及物理学等领域有着重要的应用。接下来，我们将一起探索这两种矩阵的定义和判别方法。
🌟 正定矩阵 🌟
正定矩阵是一种对称矩阵，其所有特征值都是正数。这意味着对于任何非零向量 \( \mathbf{x} \)，都有 \( \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0 \)。判断一个矩阵是否为正定矩阵的方法之一是检查其所有顺序主子式（leading principal minors）是否都大于零。
📉 负定矩阵 📉
负定矩阵也是一种对称矩阵，但其所有特征值都是负数。这意味着对于任何非零向量 \( \mathbf{x} \)，都有 \( \mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0 \)。负定矩阵的判别方法与正定矩阵类似，但需要检查所有顺序主子式的符号交替变化：第一个为负，第二个为正，第三个为负，依此类推。
掌握这些基础知识，可以帮助我们更好地理解和解决涉及矩阵的相关问题。🚀
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