【概率论与数理统计公式总结】在学习概率论与数理统计的过程中，掌握各类基本公式是理解理论和解决实际问题的关键。本文对概率论与数理统计中常见的公式进行系统性总结，便于复习与查阅。
一、基本概念与公式
| 概念 | 公式 | 说明 | |||
| 事件的并 | $ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $ | 用于计算两个事件至少有一个发生的概率 | |||
| 事件的交 | $ P(A \cap B) = P(A)P(B | A) $（若独立则为 $ P(A)P(B) $） | 条件概率的乘法公式 | ||
| 条件概率 | $ P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} $（$ P(A) > 0 $） | 已知事件 A 发生的情况下事件 B 发生的概率 | ||
| 全概率公式 | $ P(B) = \sum_{i=1}^{n} P(A_i)P(B | A_i) $ | 当事件 $ A_1, A_2, ..., A_n $ 构成一个完备事件组时，计算事件 B 的概率 | ||
| 贝叶斯公式 | $ P(A_i | B) = \frac{P(A_i)P(B | A_i)}{\sum_{j=1}^{n} P(A_j)P(B | A_j)} $ | 在已知事件 B 发生的情况下，求某个原因 $ A_i $ 发生的概率 |
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
| 分布类型 | 概率质量函数（PMF） | 数学期望 | 方差 |
| 二项分布 $ B(n, p) $ | $ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $ | $ np $ | $ np(1-p) $ |
| 泊松分布 $ P(\lambda) $ | $ P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} $ | $ \lambda $ | $ \lambda $ |
| 几何分布 $ Ge(p) $ | $ P(X = k) = (1-p)^{k-1}p $ | $ \frac{1}{p} $ | $ \frac{1-p}{p^2} $ |
2. 连续型随机变量
| 分布类型 | 概率密度函数（PDF） | 数学期望 | 方差 |
| 均匀分布 $ U(a, b) $ | $ f(x) = \frac{1}{b-a} $ | $ \frac{a+b}{2} $ | $ \frac{(b-a)^2}{12} $ |
| 正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $ | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ \mu $ | $ \sigma^2 $ |
| 指数分布 $ Exp(\lambda) $ | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ \frac{1}{\lambda} $ | $ \frac{1}{\lambda^2} $ |
三、期望与方差
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 期望（数学期望） | $ E(X) = \sum_{x} xP(X=x) $ 或 $ \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx $ | 随机变量的平均值 |
| 方差 | $ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = E(X^2) - [E(X)]^2 $ | 衡量随机变量与其均值的偏离程度 |
| 协方差 | $ Cov(X,Y) = E[(X - E(X))(Y - E(Y))] $ | 衡量两个随机变量之间的线性关系 |
| 相关系数 | $ \rho_{XY} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} $ | 取值在 [-1, 1] 之间，反映相关性强弱 |
四、大数定律与中心极限定理
| 定理名称 | 内容 |
| 大数定律 | 当样本容量 $ n $ 趋于无穷大时，样本均值依概率收敛于总体期望 |
| 中心极限定理 | 对于独立同分布的随机变量序列，当 $ n $ 足够大时，其样本均值近似服从正态分布 |
五、统计推断基础
| 概念 | 公式或说明 |
| 点估计 | 用样本数据估计总体参数，如样本均值估计总体均值 |
| 区间估计 | 给出一个区间，该区间以一定置信水平包含总体参数的真值 |
| 假设检验 | 根据样本数据判断是否接受或拒绝原假设，包括单侧/双侧检验 |
| 显著性水平 | $ \alpha $，表示拒绝原假设时犯第一类错误的概率 |
六、常用统计量
| 统计量 | 公式 | 用途 |
| 样本均值 | $ \bar{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i $ | 估计总体均值 |
| 样本方差 | $ S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 $ | 估计总体方差 |
| 样本标准差 | $ S = \sqrt{S^2} $ | 与方差一致，单位相同 |
结语
概率论与数理统计是研究随机现象及其规律的重要工具，掌握其中的核心公式有助于深入理解理论知识，并在实际应用中灵活运用。本文通过表格形式对关键公式进行了系统归纳，希望能为学习者提供参考与帮助。
