【线性代数公式】线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、计算机科学等领域。它主要研究向量、矩阵、线性方程组、特征值与特征向量等概念及其运算规律。为了便于学习和查阅，以下是一些常见的线性代数公式总结。
一、基本概念与公式
| 概念 | 公式 | 说明 | ||
| 向量加法 | $\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1, a_2 + b_2, ..., a_n + b_n)$ | 向量对应分量相加 | ||
| 向量数乘 | $k\vec{a} = (ka_1, ka_2, ..., ka_n)$ | 向量每个分量乘以常数 | ||
| 点积（内积） | $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$ | 向量间夹角的余弦乘积 | ||
| 向量模长 | $ | \vec{a} | = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2}$ | 向量长度 |
| 矩阵加法 | $A + B = [a_{ij} + b_{ij}]$ | 对应元素相加 | ||
| 矩阵数乘 | $kA = [ka_{ij}]$ | 每个元素乘以常数 | ||
| 矩阵乘法 | $AB = C$, 其中 $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ | 行乘列求和 | ||
| 转置矩阵 | $A^T$ | 行变列，列变行 | ||
| 单位矩阵 | $I_n$ | 主对角线为1，其余为0的方阵 |
二、行列式与逆矩阵
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 二阶行列式 | $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ | 用于判断矩阵是否可逆 |
| 三阶行列式 | $\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix} = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$ | 用展开法计算 |
| 逆矩阵 | $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)$ | 当$\det(A) \neq 0$时存在 |
| 伴随矩阵 | $\text{adj}(A)$ | 由代数余子式构成的转置矩阵 |
三、特征值与特征向量
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 特征方程 | $\det(A - \lambda I) = 0$ | 求特征值的方程 |
| 特征向量 | $A\vec{v} = \lambda \vec{v}$ | 满足该式的非零向量 |
| 特征多项式 | $p(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ | 表达特征值的多项式 |
四、线性方程组
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 线性方程组 | $Ax = b$ | $A$ 是系数矩阵，$x$ 是未知数向量，$b$ 是常数项 |
| 齐次方程组 | $Ax = 0$ | 解空间称为解空间或零空间 |
| 非齐次方程组 | $Ax = b$ | 解的存在性取决于增广矩阵的秩 |
| 高斯消元法 | 通过初等行变换化简矩阵 | 求解线性方程组的一种方法 |
五、其他常用公式
| 概念 | 公式 | 说明 |
| 向量正交 | $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ | 两个向量垂直 |
| 正交矩阵 | $A^T A = I$ | 矩阵的列向量两两正交且单位化 |
| 矩阵的秩 | $\text{rank}(A)$ | 矩阵中线性无关的行或列的最大数目 |
| 秩-零度定理 | $\text{rank}(A) + \text{nullity}(A) = n$ | $n$ 为矩阵列数 |
以上是线性代数中一些重要的公式和概念总结，适合在学习过程中作为参考手册使用。掌握这些内容有助于理解更复杂的数学模型和实际问题的建模与求解。
